函数

奇偶性

常见的奇函数

\sin x \tan x \arcsin x \arctan x

\ln \frac{1 - x}{1 + x} \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}

f (x) - f (- x)

常见的偶函数

x^{2} | x | \cos x

f (x) + f (- x)

奇(偶)函数的推导规律

$+$ $\neq$ 奇函数	$+$ $=$ 偶函数
$+$ $=$ 奇函数	$+$ $=$ 偶函数

$\times$ $=$ 偶函数	$\times$ $=$ 偶函数	$\times$ $=$ 奇函数

$f(x)$ $\Longrightarrow$ $f'(x)$ 为偶函数	$f(x)$ $\Longrightarrow$ $f'(x)$ 为奇函数
连续 $\Longrightarrow$ 偶函数	连续之一 $\Longrightarrow$ 奇函数
$f(x)$ $\Longrightarrow$ $\int_{0}^{x}f(t)\ dt$ 为偶函数	$f(x)$ $\Longrightarrow$ $\int_{0}^{x}f(t)\ dt$ 为奇函数
$f(x)$ $\Longrightarrow$ $\int_{a}^{x}f(t)\ dt$ 为偶函数	$f(x)$ $\nRightarrow$ $\int_{a}^{x}f(t)\ dt$ 为奇函数

周期性

周期函数的原函数

$f(x)$ $T$ 为周期：

$\int_0^xf(t)\ dt$ $T$ $\Longleftrightarrow$ $\int_a^{a+T}f(x)\ dx = 0$

周期函数的导函数

$f(x)$ $\Longrightarrow$ $f'(x)$ $f'(x)$ $f(x)$ 的周期相同

有界性

常见的有界函数

| \sin x | ⩽ 1 | \cos x | ⩽ 1 | \arcsin x | ⩽ \frac{π}{2} | \arctan x | ⩽ \frac{π}{2} | \arccos x | ⩽ π

判断开区间有界的方法

若

$f(x)$ $(a,b)$ $a$ $b$ $-\infty$ $+\infty$ ）
$f(a+0)$ $f(b-0)$ $a$ $b$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty + 0$ $-\infty$ $+\infty - 0$ $+\infty$ ）

$f(x)$ $(a,b)$ 上有界

注： $f(x)$ $(a,b)$ $f(x)$ $(a,b)$ $\nRightarrow$ $f(a+0)$ $f(b-0)$ 存在。

反例： $f(x) = \sin{\frac{1}{x}}$

导数有界推原函数有界

$f'(x)$ 有界 $\quad\Longrightarrow\quad$ $f(x)$ 导函数有界 $\quad\Longrightarrow\quad$ 原函数有界）

连续性

$f(x)$ $x_0$ 连续 $\Longleftrightarrow$ $f(x)$ $x_0$ 左极限 $=$ $f(x)$ $x_0$ 右极限 $=$ $f(x)$ $x_0$ 处的函数值

$f(x)$ $x_0$ 连续 $\Longleftrightarrow$ $\lim\limits_{x\to {x_0}^+}f(x) = \lim\limits_{x\to {x_0}^-}f(x) = f(x_0)$ $\Longleftrightarrow$ $\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)$

$f(x)$ $x_0$ 左连续 $\Longleftrightarrow$ $\lim\limits_{x\to {x_0}^-}f(x) = f(x_0)$

$f(x)$ $x_0$ 右连续 $\Longleftrightarrow$ $\lim\limits_{x\to {x_0}^+}f(x) = f(x_0)$

三角函数

\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1

\sqrt{1 \pm \sin x} = \sqrt{\sin^{2} \frac{x}{2} + \cos^{2} \frac{x}{2} \pm 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = | \sin \frac{x}{2} \pm \cos \frac{x}{2} |

\sec^{2} x = \tan^{2} x + 1 \csc^{2} x = \cot^{2} x + 1

诱导公式

\begin{matrix} \sin (π - α) = \sin α \sin (π + α) = - \sin α \\ \cos (π - α) = - \cos α \cos (π + α) = - \cos α \end{matrix}

\begin{matrix} \sin (\frac{π}{2} - α) = \cos α \cos (\frac{π}{2} - α) = \sin α \\ \sin (\frac{π}{2} + α) = \cos α \cos (\frac{π}{2} + α) = - \sin α \end{matrix}

两角和差公式

\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B

\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B

\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

倍角公式

\sin 2 x = 2 \sin x \cos x

\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x \cos 2 x = 2 \cos^{2} x - 1 \cos 2 x = 1 - 2 \sin^{2} x

\tan 2 x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^{2} x}

和差化积与积化和差

和差化积

\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} \sin α - \sin β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2}

\cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} \cos α - \cos β = - 2 \cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2}

积化和差

\begin{matrix} \sin α \cos β = \frac{\sin (α + β) + \sin (α - β)}{2} \cos α \sin β = \frac{\sin (α + β) - \sin (α - β)}{2} \end{matrix}

\sin α \sin β = - \frac{\cos (α - β) + \cos (α - β)}{2} \cos α \cos β = \frac{\cos (α + β) + \cos (α - β)}{2}

$\sin\pm\cos$ $\Longrightarrow$ $\sin$ $\cos$

\begin{matrix} A \sin α + B \cos α = \sqrt{A^{2} + B^{2}} \sin (α + β) (\tan β = \frac{B}{A}) \\ A \sin α - B \cos α = \sqrt{A^{2} + B^{2}} \sin (α - β) (\tan β = \frac{A}{B}) \end{matrix}

极限

等价无穷小

x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim \ln (1 + x) \sim e^{x} - 1

1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x^{2} {(1 + x)}^{a} - 1 \sim a x

\begin{matrix} 1 - \cos^{α} x \sim \frac{α}{2} x^{2} {(1 + α (x))}^{β (x)} - 1 \sim α (x) β (x) \\ (x \to 0, α (x) \to 0, α (x) β (x) \to 0) \end{matrix}

x - \ln (1 + x) \sim \frac{1}{2} x^{2} a^{x} - 1 \sim x \ln a

x - \sin x \sim \frac{1}{6} x^{3} \arcsin x - x \sim \frac{1}{6} x^{3}

x - \tan x \sim - \frac{1}{3} x^{3} \arctan x - x \sim - \frac{1}{3} x^{3}

\ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) \sim x

\ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) - x \sim - \frac{1}{6} x^{3}

趋向速度比较

$x\rightarrow +\infty$ ：

a^{x} ≫ x^{β} ≫ l n^{α} x α > 0, β > 0, a > 1

$n \rightarrow +\infty$ ：

n^{n} ≫ n! ≫ a^{n} ≫ n^{β} ≫ l n^{α} n α > 0, β > 0, a > 1

$\alpha > 0$ 时：

lim_{x \to 0} x^{α} \ln^{β} x = 0

常用基本极限

\begin{matrix} lim_{n \to \infty} x^{n} = {\begin{matrix} 0, & | x | < 1 \\ \infty, & | x | > 1 \\ 1, & x = 1 \\ 不 存 在, & x = - 1 \end{matrix} lim_{n \to \infty} e^{n x} = {\begin{matrix} 0, & x < 0 \\ + \infty, & x > 0 \\ 1, & x = 0 \end{matrix} \end{matrix}

无穷小量阶比较

$x \to 0$ 时：

$\varphi(x)$ $x$ $n$ 阶无穷小
$f(x)$ $x$ $m$ 阶无穷小

$F(x) = \int_o^{\varphi(x)}{f(t)}\ dt$ $x$ $n(m+1)$ 阶无穷小

$1^\infty$ 的计算方法

$\lim{\alpha(x)} = 0,\ \ lim{\beta(x)} = \infty$ $\lim{\alpha(x)\beta(x)} = A$ ,

$\lim{[1 + \alpha(x)]^{\beta(x)}} = e^A$

变上限积分等价代换

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{g (x)} = 1 ⟹ \int_{0}^{x} f (t) d t \sim \int_{0}^{x} g (t) d t

数列

数列极限加绝对值后的关系

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0 ⟺ lim_{n \to \infty} | a_{n} | = 0

lim_{n \to \infty} a_{n} = a ⟹ lim_{n \to \infty} | a_{n} | = | a |

数列求和公式

等差数列：

\frac{n (a_{1} + a_{n})}{2}

等比数列：

\frac{(a_{1} - a_{n} q)}{1 - q} = \frac{a_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}

其它一些奇奇怪怪的公式

1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{0} b^{n - 1} + a^{1} b^{n - 2} + \dots + a^{n - 2} b^{1} + a^{n - 1} b^{0})

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \dots + a_{m}^{n}} = max_{1 ⩽ i ⩽ m} {a_{i}} (a_{i} > 0)

泰勒公式

皮亚诺余项（局部）

用于局部形态，例如：极限、极值

f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f^{″} (x_{0})}{2!} (x - x_{0})^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n} + o [(x - x_{0})^{n}]

拉格朗日余项（整体）

用于整体形态，例如：不等式、最值

$\xi$ $x_0$ $x$ 之间：

f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f^{″} (x_{0})}{2!} (x - x_{0})^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n} + \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} (x - x_{0})^{n + 1}

常用的泰勒公式

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + o (x^{n})

\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \dots + (- 1)^{n - 1} \frac{x^{2 n - 1}}{(2 n - 1)!} + o (x^{2 n - 1})

\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \dots + (- 1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} + o (x^{2 n})

\ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \dots + (- 1)^{n - 1} \frac{x^{n}}{n} + o (x^{n})

(1 + x)^{α} = 1 + α x + \frac{α (α - 1)}{2!} x^{2} + \dots + \frac{α (α - 1) \dots (α - n + 1)}{n!} x^{n} + o (x^{n})

导数

(C)^{'} = 0 (x^{a})^{'} = a x^{a - 1}

(a^{x})^{'} = a^{x} \ln a (e^{x})^{'} = e^{x}

(\ln | x |)^{'} = \frac{1}{x} (\log_{a} x)^{'} = \frac{1}{x \ln a}

(\sin x)^{'} = \cos x (\cos x)^{'} = - \sin x

(\tan x)^{'} = (\sec x)^{2} (\cot x)^{'} = - {(\csc x)}^{2}

(\sec x)^{'} = \sec x \tan x (\csc x)^{'} = - \csc x \cot x

(\arcsin x)^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} (\arccos x)^{'} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

(\arctan x)^{'} = \frac{1}{1 + x^{2}} (arccot x)^{'} = - \frac{1}{1 + x^{2}}

{[\ln (x + \sqrt{x^{2} + a^{2}})]}^{'} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}

导数定义

f^{'} (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}

参数方程加隐函数求导

参数方程求导，其中有隐函数，直接利用参数方程求导公式：

\frac{d y}{d x} = \frac{y^{'} (t)}{x^{'} (t)} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{y^{″} (t) x^{'} (t) - x^{″} (t) y^{'} (t)}{{x^{'}}^{3} (t)}

反函数求导

$y=f(x)$ $x = \varphi(y)$ ：

φ^{'} (y) = \frac{1}{f^{'} (x)}

注意：二阶无公式，需要链导法推导：

φ^{″} (y) = \frac{d [φ^{'} (y)]}{d y} = \frac{d [\frac{1}{f^{'} (x)}]}{d y} = \frac{d [\frac{1}{f^{'} (x)}]}{d x} \cdot \frac{d x}{d y} = - \frac{f^{″} (x)}{{[f^{'} (x)]}^{3}}

高阶导数

(\sin x)^{(n)} = \sin (x + \frac{n π}{2}) (\cos x)^{(n)} = \cos (x + \frac{n π}{2})

(u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)} (u v)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} u^{(k)} v^{(n - k)}

法线斜率

法线斜率为切线斜率的负倒数

k = - \frac{1}{y^{'}}

微分中值定理

三大中值定理+费马定理

费马定理

$f(x)$ $x_0$ 可导 $f(x)$ $x_0$ 处取得极值，则

f^{'} (x_{0}) = 0

罗尔定理

$f(x)$

$[a,b]$ 连续
$(a,b)$ 可导
$f(a) = f(b)$

至少存在 $\xi \in (a,b)$ ，使

f^{'} (ξ) = 0

拉格朗日中值定理

$f(x)$

$[a,b]$ 连续
$(a,b)$ 可导

至少存在 $\xi \in (a,b)$ ，使

f^{'} (ξ) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}

拉格朗日中值定理在微分中的一个延伸

f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) = f^{'} [x_{0} + θ Δ x] Δ x

柯西中值定理

$f(x)$ $g(x)$

$[a,b]$ 连续
$(a,b)$ 可导
$g'(x) \neq 0$

至少存在 $\xi \in (a,b)$ ，使

\frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} = \frac{f^{'} (ξ)}{g^{'} (ξ)}

连续函数性质

最值定理

$f(x)$ 在

$[a,b]$ 上连续

$f(x)$ $[a,b]$ 上必有最大值和最小值

有界性定理

$f(x)$ 在

$[a,b]$ 上连续

$f(x)$ $[a,b]$ 上必有界

介值定理

$f(x)$ 在

$[a,b]$ 上连续
$f(a) \neq f(b)$

任意 $f(a)$ $f(b)$ $C$ 至少存在 $\xi \in (a,b)$ $f(\xi) = C$

推论

$f(x)$ 在

$[a,b]$ 上连续

$f(x)$ $[a,b]$ 最小值 $m$ 最大值 $M$ 任何值 $C$ 至少存在 $\xi \in (a,b)$ $f(\xi) = C$

零点定理

$f(x)$ 在

$[a,b]$ 上连续
$f(a) \cdot f(b) < 0$

至少存在 $\xi \in (a,b)$ ，使

f (ξ) = 0

辅助函数

$\xi f'(\xi) \pm nf(\xi) = 0$

$\xi f'(\xi) + nf(\xi) = 0$

可令：

F (x) = x^{n} f (x)

$\xi f'(\xi) - nf(\xi) = 0$

可令：

F (x) = \frac{f (x)}{x^{n}}

$f'(\xi) + \lambda f(\xi) = 0$

$f'(\xi) + \lambda f(\xi) = 0$ $\alpha f'(\xi) + \beta f(\xi) = 0$

可令：

\begin{matrix} F (x) = e^{λ x} f (x) \\ F (x) = e^{\frac{β}{α} x} f (x) (α \neq 0) \end{matrix}

$f'(\xi) + g'(\xi)f(\xi) = 0$ $f'(\xi) + g(\xi)f(\xi) = 0$

可令：

F (x) = e^{g (x)} f (x) F (x) = e^{\int g (x) d x} f (x)

$e^x$ 的一个小特点

{[e^{x} f (x)]}^{'} = e^{x} [f (x) + f^{'} (x)]

常用不等式

\sin x < x < \tan x (0 < x < \frac{π}{2})

\frac{x}{1 + x} < \ln (1 + x) < x (x > 0) (拉 格 朗 日 中 值 定 理)

\sqrt{a b c} ⩽ \frac{a + b + c}{3}

e^{x} ⩾ 1 + x

| a + b | ⩽ | a | + | b |

| a b | = | a | | b |

| | a | - | b | | ⩽ | a \pm b | ⩽ | a | + | b |

渐进线

水平渐近线

lim_{x \to \infty} f (x) = A

竖直渐近线

lim_{x \to x_{0}} f (x) = \infty

斜渐近线

lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x} = a lim_{x \to \infty} (f (x) - a x) = b y = a x + b

其它一些奇奇怪怪的公式

$y = ax+b+\alpha(x)\quad(\alpha(x)\to 0)$ $\arctan{x}$ $\arctan{\frac{1}{x}}$ $ax+b$ 时使用：

\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{π}{2} (x > 0)

曲线

弧微分

d s = \sqrt{1 + {y^{'}}^{2}} d x

曲率

直角坐标方程

K = \frac{| y^{″} |}{{(1 + {y^{'}}^{2})}^{\frac{3}{2}}}

参数方程

K = \frac{| y^{″} x^{'} - x^{″} y^{'} |}{{({x^{'}}^{2} + {y^{'}}^{2})}^{\frac{3}{2}}}

曲率圆与曲率半径

$R$ ：

R = \frac{1}{K}

不定积分

\int 0 d x = C

\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C \int x^{a} d x = \frac{1}{a + 1} x^{a + 1} + C

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C \int e^{x} d x = e^{x} + C

\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x = 2 \sqrt{x} + C

\int \sin x d x = - \cos x + C \int \cos x d x = \sin x + C

\int \sec^{2} x d x = \tan x + C \int \csc^{2} x d x = - \cot x + C

\int \sec x \tan x d x = \sec x + C \int \csc x \cot x d x = - \csc x + C

\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x = \arcsin x + C \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \arctan x + C

\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} d x = \arcsin \frac{x}{a} + C \int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C

\int \frac{1}{x^{2} - a^{2}} d x = \frac{1}{2 a} \ln | \frac{x - a}{x + a} | + C \int \frac{1}{a^{2} - x^{2}} d x = - \frac{1}{2 a} \ln | \frac{x - a}{x + a} | + C

\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} d x = \ln | x + \sqrt{x^{2} + a^{2}} | + C \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} d x = \ln | x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} | + C

\int \sec x d x = \ln | \sec x + \tan x | + C \int \csc x d x = - \ln | \csc x + \cot x | + C

y + \sqrt{y^{2} - 1} = e^{\pm x} ⟹ y = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x}) = \cosh x

分部积分的选择

$p_n(x)$ 以外的凑近微分号：

\int p_{n} (x) e^{α x} d x \int p_{n} (x) \sin α x d x \int p_{n} (x) \cos α x d x

$p_n(x)$ 凑近微分号：

\int p_{n} (x) \ln x d x \int p_{n} (x) \arctan x d x \int p_{n} (x) \arcsin x d x

连续两次 $e^{\alpha x}$ (指数) 凑近微分号：

\int e^{α x} \sin β x d x \int e^{α x} \cos β x d x

三角函数有理式凑微分规律

$R(-\sin x,\ \ \ \cos x) = -R(\sin x,\cos x)$ $d\cos x$
$R(\ \sin x,\ -\cos x) = -R(\sin x,\cos x)$ $d\sin x$
$R(-\sin x,-\cos x) = -R(\sin x,\cos x)$ $d\tan x$

$\sin x$ $\cos x$ 线性有理式相除

\int \frac{c \sin x + d \cos x}{a \sin x + b \cos x} d x = \int \frac{A (a \cos x - b \sin x) + B (a \sin x + b \cos x)}{a \sin x + b \cos x} d x

积不出来的函数

\int e^{- x^{2}} d x \int \frac{\sin x}{x} d x \int \frac{\cos x}{x} d x

$f(x)$ 原函数是否存在

$f(x)$ $I$ 连续 $\Longrightarrow$ $f(x)$ 存在原函数
$f(x)$ $I$ 上不连续
- $f(x)$ $I$ 有第一类间断点 $\Longrightarrow$ $f(x)$ 不存在原函数
- $f(x)$ $I$ $\Longrightarrow$ 不确定

$(xe^x)'$ 的一个小特性

(x e^{x})^{'} = (x + 1) e^{x} (x^{2} e^{x})^{'} = x (x + 2) e^{x}

定积分

常用公式

\begin{matrix} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{n} x d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{n} x d x = {\begin{matrix} \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n - 3}{n - 2}, \dots, \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} (n 为 正 偶 数) \\ \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n - 3}{n - 2}, \dots, \frac{2}{3} (n 为 大 于 1 的 奇 数) \end{matrix} \end{matrix}

\int_{0}^{π} x f (\sin x) d x = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} f (\sin x) d x

\int_{0}^{π} \sin^{n} x d x = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{n} x d x

\begin{matrix} \int_{0}^{π} \cos^{n} x d x = {\begin{matrix} 0, & n 为 奇 数 \\ 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{n} x d x, & n 为 偶 数 \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} \int_{0}^{2 π} \cos^{n} x d x = \int_{0}^{2 π} \sin^{n} x d x = {\begin{matrix} 0, & n 为 奇 数 \\ 4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{n} x d x, & n 为 偶 数 \end{matrix} \end{matrix}

区间再现公式

$t = a + b - x$ $x = a + b - t$ ：

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (a + b - t) d t

奇偶性和周期性

奇偶性

\begin{matrix} \int_{- a}^{a} f (x) d x = {\begin{matrix} 0, & f (x) 为 奇 函 数 \\ 2 \int_{0}^{a} f (x) d x, & f (x) 为 偶 函 数 \end{matrix} \end{matrix}

周期性

\int_{a}^{a + T} f (x) d x = \int_{0}^{T} f (x) d x

\int_{0}^{n T} f (x) d x = n \int_{a}^{a + T} f (x) d x

中值定理

积分中值定理

$f(x)$ $[a, b]$ 上连续：

\int_{a}^{b} f (x) d x = f (ξ) (b - a) (a < ξ < b)

$\frac{1}{b-a}\int_a^b{f(x)\ dx}$ $y=f(x)$ $[a, b]$ 上的平均值。

积分中值定理的一个神奇操作

牛顿-莱布尼兹公式和拉格朗日中值定理联系起来，得到积分中值定理：

\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (b) - f (a) = (b - a) f^{'} (ξ)

广义积分中值定理

$f(x)$ $g(x)$ $[a, b]$ $g(x)$ 不变号：

\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x = f (ξ) \int_{a}^{b} g (x) d x (a ⩽ ξ ⩽ b)

注 $f(x)$ $\lim{f(x)} = A \neq 0$

几何意义

\int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x = \frac{π}{4}

\int_{0}^{a} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x = \frac{π}{4} a^{2}

\int_{0}^{a} \sqrt{2 a x - x^{2}} d x = \frac{π}{4} a^{2}

定义求极限

$\frac{i}{n}$ $i$ $1 \cdots n$ （取每个区间的右端点）

$\frac{i}{n}$ $i$ $0 \cdots n-1$ （取每个区间的左端点）

\int_{0}^{1} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} f (\frac{i}{n})

可积性

必要条件

$\int_a^b{f(x)}\ dx$ $\Longrightarrow$ $f(x)$ $[a,b]$ 可积 $\Longrightarrow$ 有界）

充分条件

$f(x)$ $[a,b]$ $\Longrightarrow$ $\int_a^b{f(x)}\ dx$ 连续 $\Longrightarrow$ 可积）（强条件，难满足）
$f(x)$ $[a,b]$ 上只有第一类间断点 $\Longrightarrow$ $\int_a^b{f(x)}\ dx$ 存在（只有第一类间断点 $\Longrightarrow$ 可积）（弱条件，易满足）
- $f(x)$ $[a,b]$ $\Longrightarrow$ $\int_a^x{f(t)}\ dt$ $[a,b]$ 可积 $\Longrightarrow$ 变上限积分连续）

变上限积分

变上限积分求导

{(\int_{φ_{1} (x)}^{φ_{2} (x)} f (t) d t)}^{'} = f [φ_{2} (x)] \cdot φ_{2}^{'} (x) - f [φ_{1} (x)] \cdot φ_{1}^{'} (x)

变上限积分的连续性

$f(x)$ $[a,b]$ $\Longrightarrow$ $f(x)$ $[a,b]$ 有限个第一类间断点 $\Longrightarrow$ 可积）
$f(x)$ $[a,b]$ $\Longrightarrow$ $\int_a^x{f(t)}\ dt$ $[a,b]$ 可积 $\Longrightarrow$ 变上限积分连续）

变上限积分的的可导性

F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

$x_0 \in (a,b)$
$f(x)$ $[a,b]$ $x_0$ 以外都是连续的

$x=x_0$ 处：

$f(x)$ $\Longrightarrow$ $F(x)$ $F'(x_0) = f(x_0)$
$f(x)$ $\Longrightarrow$ $F(x)$ $F'(x_0) = \lim_\limits{x\rightarrow x_0}{f(x_0)}$
$f(x)$ $\Longrightarrow$ $F(x)$ $F_-'(x_0) = f(x_0^-)$ $F'_+(x_0) = f_(x_0^+)$

物理应用

平面图形面积

S = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x S = \iint_{D} 1 d δ = \int_{a}^{b} d x \int_{g (x)}^{f (x)} d y

S = \frac{1}{2} \int_{α}^{β} ρ^{2} (θ) d θ S = \iint_{D} 1 d δ = \int_{α}^{β} d θ \int_{0}^{ρ (θ)} ρ d ρ

空间体的体积

旋转体的体积

V = 2 π \iint_{D} r (x, y) d σ r (x, y) = \frac{| a x + b y + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

V_{x} = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x V_{x} = 2 π \iint_{D} y d σ = 2 π \int_{a}^{b} d x \int_{0}^{f (x)} y d y

V_{y} = 2 π \int_{a}^{b} x f (x) d x V_{y} = 2 π \iint_{D} x d σ = 2 π \int_{a}^{b} d x \int_{0}^{f (x)} x d y

已知横截面面积的体积

V = \int_{a}^{b} S (x) d x

点到直线距离

d = | \frac{A x_{0} + B y_{0} + C}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} |

曲线弧长

$C$

$C:y=y(x),\quad a \leqslant x \leqslant b$ ：

S = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {y^{'}}^{2}} d x

$C:\left\{\begin{matrix}x=x(t)\\y=y(t)\end{matrix}\right.,\quad \alpha \leqslant t \leqslant \beta$ ：

S = \int_{α}^{β} \sqrt{x^{' 2} + {y^{'}}^{2}} d t

$C:\rho=\rho(\theta),\quad \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta$ ：

S = \int_{α}^{β} \sqrt{ρ^{2} + {ρ^{'}}^{2}} d θ

旋转体侧面积

S = 2 π \int_{a}^{b} f (x) d s

S = 2 π \int_{a}^{b} f (x) \sqrt{1 + {f^{'}}^{2} (x)} d x S = 2 π \int_{α}^{β} f (x) \sqrt{x^{' 2} + {y^{'}}^{2}} d t

物理公式

质心坐标（形心横坐标）

$x$ $[a,b]$ 上
$\rho = \rho(x)$

则质心坐标为：

\overset{―}{x} = \frac{\int_{a}^{b} x ρ (x) d x}{\int_{a}^{b} ρ (x) d x}

不规则物体质心坐标

\overset{―}{x} = \frac{\iint_{D} x ρ (x, y) d σ}{\iint_{D} ρ (x, y) d σ}

形心坐标

$S$ 为图形面积

\overset{―}{x} = \frac{\iint_{D} x d σ}{S}

各种经典函数曲线

心形线

ρ = a (1 + \cos θ)

ρ = a (1 - \cos θ)

星形线

\begin{matrix} {\begin{matrix} x = a \cos^{3} t \\ y = a \sin^{3} t \end{matrix} \end{matrix}

摆线（最速降线）

\begin{matrix} {\begin{matrix} x = a (t - \sin t) \\ y = a (1 - \cos t) \end{matrix} (0 ⩽ t ⩽ 2 π) \end{matrix}

双纽线

{(x^{2} + y^{2})}^{2} = x^{2} - y^{2}

玫瑰线

ρ = a \sin 3 θ

阿基米德螺线

ρ = a θ

笛卡尔叶形线

x^{3} + y^{3} - 3 a x y = 0

不等式

各个基本不等式

| \int_{a}^{b} f (x) d x | ⩽ \int_{a}^{b} | f (x) | d x

$[a, b]$ $f(x) \leqslant g(x)$ ：

\int_{a}^{b} f (x) d x ⩽ \int_{a}^{b} g (x) d x

$M$ $m$ $[a, b]$ 上的最大值和最小值：（估值定理）

m (b - a) ⩽ \int_{a}^{b} f (x) d x ⩽ M (b - a)

柯西积分不等式

$f(x)$ $g(x)$ 连续，则：

{(\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x)}^{2} ⩽ \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x \int_{a}^{b} g^{2} (x) d x

反常积分

无穷区间反常积分敛散性

常用结论

\begin{matrix} \int_{a}^{+ \infty} \frac{1}{x^{p}} d x {\begin{matrix} p > 1, & 收 敛 \\ p ⩽ 1, & 发 散 \end{matrix} (a > 0) \end{matrix}

比较判别法

（大敛小必敛，小散大必散）

设

$f(x)$ $g(x)$ $[a,+\infty)$ 上连续
$0 \leqslant f(x) \leqslant g(x)$

则

$\int_a^{+\infty}{g(x)}\ dx$ $\Longrightarrow$ $\int_a^{+\infty}{f(x)}\ dx$ 收敛
$\int_a^{+\infty}{f(x)}\ dx$ $\Longrightarrow$ $\int_a^{+\infty}{g(x)}\ dx$ 发散

比较判别法的极限形式

（大敛小必敛，小散大必散）

设

$f(x)$ $g(x)$ $[a,+\infty)$ 上非负连续
$\lim\limits_{x\to+\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lambda$

则

$\lambda > 0$ $\int_a^{+\infty}{f(x)}\ dx$ $\int_a^{+\infty}{g(x)}\ dx$ 同敛散
$\lambda = 0$ $\int_a^{+\infty}{g(x)}\ dx$ $\Longrightarrow$ $\int_a^{+\infty}{f(x)}\ dx$ 收敛
$\lambda = +\infty$ $\int_a^{+\infty}{g(x)}\ dx$ $\Longrightarrow$ $\int_a^{+\infty}{f(x)}\ dx$ 发散

无界函数反常积分敛散性

常用结论

\begin{matrix} \int_{a}^{b} \frac{1}{(x - a)^{p}} d x, \int_{a}^{b} \frac{1}{(b - x)^{p}} d x {\begin{matrix} p < 1, & 收 敛 \\ p ⩾ 1, & 发 散 \end{matrix} \end{matrix}

比较判别法

（大敛小必敛，小散大必散）

设

$f(x)$ $g(x)$ $(a,b]$ 上连续
$0 \leqslant f(x) \leqslant g(x)$

则

$\int_a^b{g(x)}\ dx$ $\Longrightarrow$ $\int_a^b{f(x)}\ dx$ 收敛
$\int_a^b{f(x)}\ dx$ $\Longrightarrow$ $\int_a^b{g(x)}\ dx$ 发散

比较判别法的极限形式

（大敛小必敛，小散大必散）

设

$f(x)$ $g(x)$ $(a,b]$ 上非负连续
$\lim\limits_{x\to a^+}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lambda$

则

$\lambda > 0$ $\int_a^b{f(x)}\ dx$ $\int_a^b{g(x)}\ dx$ 同敛散
$\lambda = 0$ $\int_a^b{g(x)}\ dx$ $\Longrightarrow$ $\int_a^b{f(x)}\ dx$ 收敛
$\lambda = +\infty$ $\int_a^b{g(x)}\ dx$ $\Longrightarrow$ $\int_a^b{f(x)}\ dx$ 发散

$\int_0^{+\infty}{x^{\alpha-1}e^{-x}}\ dx$ 特性

函数形式：

Γ (α) = \int_{0}^{+ \infty} x^{α - 1} e^{- x} d x

特性：

$\Gamma(\alpha+1) = \alpha\Gamma(\alpha)$
$\Gamma(n+1) = n\ !$ $n$ 为整数）
$\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$

微分方程

齐次微分方程

u = \frac{y}{x} y = u x \frac{d y}{d x} = u + x \frac{d u}{d x}

一阶线性微分方程

y^{'} + p (x) y = Q (x)

y = e^{- \int p (x) d x} [\int Q (x) e^{\int p (x) d x} d x + C]

可降阶的高阶方程

$y'' = f(x, y')$ $y$ ）

y^{'} = p y^{″} = p^{'}

$y'' = f(y, y')$ $x$ ）

y^{'} = p y^{″} = p \frac{d p}{d y}

$y'' + py' + qy = 0$

y^{″} + p y^{'} + p y = 0

r^{2} + p r + q = 0

$r_1 \neq r_2$ 为两个不相等的实特征根

y = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}

$r_1 = r_2$ 为二重实特征根

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{r_{1} x}

$r_1 = \alpha + \beta i$ $r_2 = \alpha - \beta i$ 为共轭复根

y = e^{α x} (C_{1} \cos β x + C_{2} \sin β x)

$y'' + py' + qy = f(x)$

$f(x) = P_m(x)e^{\lambda x}$

\begin{matrix} y^{″} + p y^{'} + q y = f (x) \\ r^{2} + p r + q = 0 \end{matrix}

$f(x) = P_m(x)e^{\lambda x}$

$y^*$ 的方法：

y^{*} = x^{k} Q_{m} (x) e^{λ x}

$Q_m(x)$ $P_m(x)$ $a$ $ax+b$ $ax^2+bx+c$ 。
$r^2 + pr + q = 0$ $r_1,\ r_2$ 。
$f(x)$ $\lambda$ $\lambda$ $e^{\lambda x}$ $\lambda$ 的值。
$r$ $\lambda$ $k$ $k$ $x^k$ 写出来。
$e^{\lambda x}$ 照抄。

$f(x) = e^{\alpha x}\left[P_l^{(1)}(x)\cos{\beta x}+P_n^{(2)}(x)\sin{\beta x}\right]$

$y^*$ 的方法：

y^{*} = x^{k} e^{α x} [R_{m}^{(1)} (x) \cos β x + R_{m}^{(2)} (x) \sin β x] m = max {l, n}

$R_m^{(1)}(x)$ $R_m^{(2)}(x)$ $R_m(x)$ $P_l^{(1)}(x)$ $P_n^{(2)}(x)$ $a$ $b$ $ax+b$ $cx+d$ $ax^2+bx+c$ $dx^2+ex+f$ 。
$\cos{\beta x}$ $\sin{\beta x}$ 照抄。
$r^2 + pr + q = 0$ $r_1,\ r_2$ 。
$f(x)$ $\alpha + \beta i$ $\alpha$ $e^{\alpha x}$ $\alpha$ $\beta$ $\cos$ $\sin$ $\beta$ 。
$r$ $\alpha + \beta i$ $k$ $k$ $x^k$ 写出来。
$e^{\alpha x}$ 照抄。

多元函数微分学

偏导数定义

{f_{x}}^{'} (x_{0}, y_{0}) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})}{Δ x} = lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})}{x - x_{0}} = \frac{d [f (x, y_{0})]}{d x} |_{x = x_{0}}

{f_{y}}^{'} (x_{0}, y_{0}) = lim_{Δ y \to 0} \frac{f (x_{0}, y_{0} + Δ y) - f (x_{0}, y_{0})}{Δ y} = lim_{y \to y_{0}} \frac{f (x_{0}, y) - f (x_{0}, y_{0})}{y - y_{0}} = \frac{d [f (x_{0}, y)]}{d y} |_{y = y_{0}}

全微分定义（四条等价的定义）

Δ z = f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) - f (x_{0}, y_{0}) = A Δ x + B Δ y + o (ρ)

\begin{matrix} lim_{Δ x \to 0 Δ y \to 0} \frac{[f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) - f (x_{0}, y_{0})] - [A Δ x + B Δ y]}{\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}} = 0 \end{matrix}

Δ z = f (x, y) - f (x_{0}, y_{0}) = A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + o (ρ)

\begin{matrix} lim_{x \to x_{0} y \to y_{0}} \frac{[f (x, y) - f (x_{0}, y_{0})] - [A (x - x_{0}) + B (y - y_{0})]}{\sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2}}} = 0 \end{matrix}

可微性判定

必要条件

$\Longrightarrow$ $f_x'(x_0,\ y_0)$ $f_y'(x_0,\ y_0)$ 可微 $\Longrightarrow$ 一阶偏导数存在）

充分条件

$f'_x(x,\ y)$ $f'_y(x,\ y)$ $(x_0,\ y_0)$ $\Longrightarrow$ 一阶偏导数都存在并且连续 $\Longrightarrow$ 可微）

定义判定

两个条件都满足才可微：

$f_x'(x_0,\ y_0)$ $f_y'(x_0,\ y_0)$ 至少一个不存在 $\Longrightarrow$ 不可微）

\begin{matrix} lim_{Δ x \to 0 Δ y \to 0} \frac{[f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) - f (x_{0}, y_{0})] - [f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) Δ x + f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) Δ y]}{\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}} = 0 \end{matrix}

隐函数偏导数

\frac{\partial y}{\partial x} = - \frac{F_{x}^{'}}{F_{y}^{'}}

\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F_{x}^{'}}{F_{z}^{'}} \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{F_{y}^{'}}{F_{z}^{'}}

极值判定

极值的必要条件

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0 f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0

极值的充分条件

以下是决定函数内部是否有最大值和最小值：

A = f_{x x}^{″} (x_{0}, y_{0}) B = f_{x y}^{″} (x_{0}, y_{0}) C = f_{y y}^{″} (x_{0}, y_{0})

$AC - B^2 > 0$ $(x_0, y_0)$ $f(x, y)$ 的极值点
- $A < 0$ $(x_0, y_0)$ $f(x, y)$ 的极大值点
- $A > 0$ $(x_0, y_0)$ $f(x, y)$ 的极小值点
$AC - B^2 < 0$ $(x_0, y_0)$ 不为 $f(x, y)$ 的极值点
$AC - B^2 = 0$ ，则不确定，一般用定义判定

拉格朗日乘数法

$z = f(x, y)$

$\varphi (x, y)$

F (x, y, φ) = f (x, y) + λ φ (x, y)

\begin{matrix} {\begin{cases} f_{x}^{'} (x, y) + λ φ_{x}^{'} (x, y) = 0 \\ f_{y}^{'} (x, y) + λ φ_{y}^{'} (x, y) = 0 \\ φ (x, y) = 0 \end{cases} \end{matrix}

$(x, y)$ 为可能的极值点

$u = f(x, y, z)$

$\varphi (x, y, z)$ $\psi (x, y, z)$

F (x, y, z, φ, ψ) = f (x, y, z) + λ φ (x, y, z) + μ ψ (x, y, z)

\begin{matrix} {\begin{cases} f_{x}^{'} (x, y, z) + λ φ_{x}^{'} (x, y, z) + μ ψ_{x}^{'} (x, y, z) = 0 \\ f_{y}^{'} (x, y, z) + λ φ_{y}^{'} (x, y, z) + μ ψ_{y}^{'} (x, y, z) = 0 \\ f_{z}^{'} (x, y, z) + λ φ_{z}^{'} (x, y, z) + μ ψ_{z}^{'} (x, y, z) = 0 \\ φ (x, y, z) = 0 \\ ψ (x, y, z) = 0 \end{cases} \end{matrix}

$(x, y, z)$ 为可能的极值点

最大最小值

$f(x)$ $D$ 内部 $f'(x) = 0$
$f(x)$ $D$ 边界上的最大最小值，用拉格朗日乘数法
比较所有驻点大小

二重积分

极坐标计算

\iint_{D} f (x, y) d σ = \int_{α}^{β} d θ \int_{φ_{1} (θ)}^{φ_{2} (θ)} f (ρ \cos θ, ρ \sin θ) ρ d ρ

适合极坐标的被积函数：（以被积函数为主）

f (\sqrt{x^{2} + y^{2}}) f (\frac{y}{x}) f (\frac{x}{y})

适合极坐标的积分域：

x^{2} + y^{2} ⩽ R^{2} r^{2} ⩽ x^{2} + y^{2} ⩽ R^{2} x^{2} + y^{2} ⩽ 2 a x x^{2} + y^{2} ⩽ 2 b y

奇偶性计算

$D$ $y$ $x=0$ 对称）：

\begin{matrix} \iint_{D} f (x, y) d σ = {\begin{cases} 2 \iint_{D_{x ⩾ 0}} f (x, y) d σ, f (x, y) 关 于 x 为 偶 函 数 \\ 0, f (x, y) 关 于 x 奇 函 数 \end{cases} \end{matrix}

$D$ $x$ $y=0$ 对称）：

\begin{matrix} \iint_{D} f (x, y) d σ = {\begin{cases} 2 \iint_{D_{y ⩾ 0}} f (x, y) d σ, f (x, y) 关 于 y 为 偶 函 数 \\ 0, f (x, y) 关 于 y 奇 函 数 \end{cases} \end{matrix}

变量对称性

结论

对于一个二重积分，

$D$ $x,y$ $y=x$ 对称的另一个区域）
$f(x,y)$ $x,y$ $y=x$ 对称的另一个函数）

则值不变。

推论 1

$D$ $y=x$ 对称：

$x$ $y$ 对调后还是原来的区域
$x$ $y$ $y=x$ 对称的另一个函数：

则值不变，即：

\iint_{D} f (x, y) d σ = \iint_{D} f (y, x) d σ

推论 2

$f(x,y)$ $y=x$ 对称：

$x$ $y$ 对调后，函数还和原来还一模一样
$x$ $y$ $y=x$ 对称的另一个区域

则值不变，即：

\iint_{D_{1}} f (x, y) d σ = \iint_{D_{2}} f (x, y) d σ

推论 3

$D$ $y=x$ $f(x,y)$ $y=x$ 对称：

$D$ $y=x$ $y=x$ $D_1$ $D_2$
$f(x,y)$ $x$ $y$ 对调后，函数还和原来还一模一样

$D$ $D_1$ $D_2$ 积分的值，即：

\frac{1}{2} \iint_{D} f (x, y) d σ = \iint_{D_{1}} f (x, y) d σ = \iint_{D_{2}} f (x, y) d σ

不等式

| \iint_{D} f (x, y) d σ | ⩽ \iint_{D} | f (x, y) | d σ

$D$ $f(x, y) \leqslant g(x, y)$ ：

\iint_{D} f (x, y) d σ ⩽ \iint_{D} g (x, y) d σ

$D$ $m \leqslant f(x, y) \leqslant$ $\sigma$ $D$ 面积）：

m σ ⩽ \iint_{D} f (x, y) d σ ⩽ M σ

常用结论

一个概率论中的常用结论：

\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t = \sqrt{π}

函数

奇偶性

常见的奇函数

常见的偶函数

奇(偶)函数的推导规律

周期性

周期函数的原函数

周期函数的导函数

有界性

常见的有界函数

判断开区间有界的方法

导数有界推原函数有界

连续性

三角函数

诱导公式

两角和差公式

倍角公式

和差化积与积化和差

和差化积

积化和差

变量相同的 sin±cos\sin\pm\cos ⟹\Longrightarrow 只有一个 sin\sin 或只有一个 cos\cos

极限

等价无穷小

趋向速度比较

常用基本极限

无穷小量阶比较

1∞1^\infty 的计算方法

变上限积分等价代换

数列

数列极限加绝对值后的关系

数列求和公式

其它一些奇奇怪怪的公式

泰勒公式

皮亚诺余项（局部）

拉格朗日余项（整体）

常用的泰勒公式

导数

导数定义

参数方程加隐函数求导

反函数求导

高阶导数

法线斜率

微分中值定理

三大中值定理+费马定理

费马定理

罗尔定理

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理在微分中的一个延伸

柯西中值定理

连续函数性质

最值定理

有界性定理

介值定理

推论

零点定理

辅助函数

ξf′(ξ)±nf(ξ)=0\xi f'(\xi) \pm nf(\xi) = 0

f′(ξ)+λf(ξ)=0f'(\xi) + \lambda f(\xi) = 0

exe^x 的一个小特点

常用不等式

渐进线

水平渐近线

竖直渐近线

斜渐近线

其它一些奇奇怪怪的公式

曲线

弧微分

曲率

直角坐标方程

参数方程

曲率圆与曲率半径

不定积分

分部积分的选择

三角函数有理式凑微分规律

sin⁡x\sin x 与 cos⁡x\cos x 线性有理式相除

积不出来的函数

判断 f(x)f(x) 原函数是否存在

(xex)′(xe^x)' 的一个小特性

定积分

常用公式

$\sin\pm\cos$ $\Longrightarrow$ $\sin$ $\cos$

$1^\infty$ 的计算方法

$\xi f'(\xi) \pm nf(\xi) = 0$

$f'(\xi) + \lambda f(\xi) = 0$

$e^x$ 的一个小特点

$\sin x$ $\cos x$ 线性有理式相除

$f(x)$ 原函数是否存在

$(xe^x)'$ 的一个小特性

$\int_0^{+\infty}{x^{\alpha-1}e^{-x}}\ dx$ 特性

$y'' = f(x, y')$ $y$ ）

$y'' = f(y, y')$ $x$ ）

$y'' + py' + qy = 0$

$y'' + py' + qy = f(x)$

$f(x) = P_m(x)e^{\lambda x}$

$f(x) = e^{\alpha x}\left[P_l^{(1)}(x)\cos{\beta x}+P_n^{(2)}(x)\sin{\beta x}\right]$