函数奇偶性常见的奇函数常见的偶函数奇(偶)函数的推导规律周期性周期函数的原函数周期函数的导函数有界性常见的有界函数判断开区间有界的方法导数有界推原函数有界连续性三角函数诱导公式两角和差公式倍角公式和差化积与积化和差和差化积积化和差变量相同的 $\sin\pm\cos$ $\Longrightarrow$ 只有一个 $\sin$ 或只有一个 $\cos$ 极限等价无穷小趋向速度比较常用基本极限无穷小量阶比较 $1^\infty$ 的计算方法变上限积分等价代换数列数列极限加绝对值后的关系数列求和公式其它一些奇奇怪怪的公式泰勒公式皮亚诺余项（局部）拉格朗日余项（整体）常用的泰勒公式导数导数定义参数方程加隐函数求导反函数求导高阶导数法线斜率微分中值定理三大中值定理+费马定理费马定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理在微分中的一个延伸柯西中值定理连续函数性质最值定理有界性定理介值定理推论零点定理辅助函数 $\xi f'(\xi) \pm nf(\xi) = 0$ $f'(\xi) + \lambda f(\xi) = 0$ $e^x$ 的一个小特点常用不等式渐进线水平渐近线竖直渐近线斜渐近线其它一些奇奇怪怪的公式曲线弧微分曲率直角坐标方程参数方程曲率圆与曲率半径不定积分分部积分的选择三角函数有理式凑微分规律 $\sin x$ 与 $\cos x$ 线性有理式相除积不出来的函数判断 $f(x)$ 原函数是否存在 $(xe^x)'$ 的一个小特性定积分常用公式区间再现公式奇偶性和周期性奇偶性周期性中值定理积分中值定理积分中值定理的一个神奇操作广义积分中值定理几何意义定义求极限可积性必要条件充分条件变上限积分变上限积分求导变上限积分的连续性变上限积分的的可导性物理应用平面图形面积空间体的体积旋转体的体积已知横截面面积的体积点到直线距离曲线弧长旋转体侧面积物理公式质心坐标（形心横坐标）不规则物体质心坐标形心坐标各种经典函数曲线心形线星形线摆线（最速降线）双纽线玫瑰线阿基米德螺线笛卡尔叶形线不等式各个基本不等式柯西积分不等式反常积分无穷区间反常积分敛散性常用结论比较判别法比较判别法的极限形式无界函数反常积分敛散性常用结论比较判别法比较判别法的极限形式 $\int_0^{+\infty}{x^{\alpha-1}e^{-x}}\ dx$ 特性微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程可降阶的高阶方程 $y'' = f(x, y')$ （不显含 $y$ ） $y'' = f(y, y')$ （不显含 $x$ ）常系数齐次线性微分方程 $y'' + py' + qy = 0$ 常系数非齐次线性微分方程 $y'' + py' + qy = f(x)$ $f(x) = P_m(x)e^{\lambda x}$ $f(x) = e^{\alpha x}\left[P_l^{(1)}(x)\cos{\beta x}+P_n^{(2)}(x)\sin{\beta x}\right]$ 多元函数微分学偏导数定义全微分定义（四条等价的定义）可微性判定必要条件充分条件定义判定隐函数偏导数极值判定极值的必要条件极值的充分条件拉格朗日乘数法 $z = f(x, y)$ $u = f(x, y, z)$ 最大最小值二重积分极坐标计算奇偶性计算变量对称性结论推论 1推论 2推论 3不等式常用结论

函数

奇偶性

常见的奇函数

\sin x \tan x \arcsin x \arctan x

\ln \frac{1 - x}{1 + x} \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}

f (x) - f (- x)

常见的偶函数

x^{2} | x | \cos x

f (x) + f (- x)

奇(偶)函数的推导规律

$+$ $\neq$ 奇函数	$+$ $=$ 偶函数
$+$ $=$ 奇函数	$+$ $=$ 偶函数

$\times$ $=$ 偶函数	$\times$ $=$ 偶函数	$\times$ $=$ 奇函数

$f(x)$ $\Longrightarrow$ $f'(x)$ 为偶函数	$f(x)$ $\Longrightarrow$ $f'(x)$ 为奇函数
连续 $\Longrightarrow$ 偶函数	连续之一 $\Longrightarrow$ 奇函数
$f(x)$ $\Longrightarrow$ $\int_{0}^{x}f(t)\ dt$ 为偶函数	$f(x)$ $\Longrightarrow$ $\int_{0}^{x}f(t)\ dt$ 为奇函数
$f(x)$ $\Longrightarrow$ $\int_{a}^{x}f(t)\ dt$ 为偶函数	$f(x)$ $\nRightarrow$ $\int_{a}^{x}f(t)\ dt$ 为奇函数

周期性

周期函数的原函数

$f(x)$ $T$ 为周期：

$\int_0^xf(t)\ dt$ $T$ $\Longleftrightarrow$ $\int_a^{a+T}f(x)\ dx = 0$

周期函数的导函数

$f(x)$ $\Longrightarrow$ $f'(x)$ $f'(x)$ $f(x)$ 的周期相同

有界性

常见的有界函数

| \sin x | ⩽ 1 | \cos x | ⩽ 1 | \arcsin x | ⩽ \frac{π}{2} | \arctan x | ⩽ \frac{π}{2} | \arccos x | ⩽ π

判断开区间有界的方法

若

$f(x)$ $(a,b)$ $a$ $b$ $-\infty$ $+\infty$ ）
$f(a+0)$ $f(b-0)$ $a$ $b$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty + 0$ $-\infty$ $+\infty - 0$ $+\infty$ ）

$f(x)$ $(a,b)$ 上有界

注： $f(x)$ $(a,b)$ $f(x)$ $(a,b)$ $\nRightarrow$ $f(a+0)$ $f(b-0)$ 存在。

反例： $f(x) = \sin{\frac{1}{x}}$

导数有界推原函数有界

$f'(x)$ 有界 $\quad\Longrightarrow\quad$ $f(x)$ 导函数有界 $\quad\Longrightarrow\quad$ 原函数有界）

连续性

$f(x)$ $x_0$ 连续 $\Longleftrightarrow$ $f(x)$ $x_0$ 左极限 $=$ $f(x)$ $x_0$ 右极限 $=$ $f(x)$ $x_0$ 处的函数值

$f(x)$ $x_0$ 连续 $\Longleftrightarrow$ $\lim\limits_{x\to {x_0}^+}f(x) = \lim\limits_{x\to {x_0}^-}f(x) = f(x_0)$ $\Longleftrightarrow$ $\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)$

$f(x)$ $x_0$ 左连续 $\Longleftrightarrow$ $\lim\limits_{x\to {x_0}^-}f(x) = f(x_0)$

$f(x)$ $x_0$ 右连续 $\Longleftrightarrow$ $\lim\limits_{x\to {x_0}^+}f(x) = f(x_0)$

三角函数

\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1

\sqrt{1 \pm \sin x} = \sqrt{\sin^{2} \frac{x}{2} + \cos^{2} \frac{x}{2} \pm 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = | \sin \frac{x}{2} \pm \cos \frac{x}{2} |

\sec^{2} x = \tan^{2} x + 1 \csc^{2} x = \cot^{2} x + 1

诱导公式

\begin{matrix} \sin (π - α) = \sin α \sin (π + α) = - \sin α \\ \cos (π - α) = - \cos α \cos (π + α) = - \cos α \end{matrix}

\begin{matrix} \sin (\frac{π}{2} - α) = \cos α \cos (\frac{π}{2} - α) = \sin α \\ \sin (\frac{π}{2} + α) = \cos α \cos (\frac{π}{2} + α) = - \sin α \end{matrix}

两角和差公式

\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B

\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B

\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

倍角公式

\sin 2 x = 2 \sin x \cos x

\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x \cos 2 x = 2 \cos^{2} x - 1 \cos 2 x = 1 - 2 \sin^{2} x

\tan 2 x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^{2} x}

和差化积与积化和差

和差化积

\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} \sin α - \sin β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2}

\cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} \cos α - \cos β = - 2 \cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2}

积化和差

\begin{matrix} \sin α \cos β = \frac{\sin (α + β) + \sin (α - β)}{2} \cos α \sin β = \frac{\sin (α + β) - \sin (α - β)}{2} \end{matrix}

\sin α \sin β = - \frac{\cos (α - β) + \cos (α - β)}{2} \cos α \cos β = \frac{\cos (α + β) + \cos (α - β)}{2}

$\sin\pm\cos$ $\Longrightarrow$ $\sin$ $\cos$

\begin{matrix} A \sin α + B \cos α = \sqrt{A^{2} + B^{2}} \sin (α + β) (\tan β = \frac{B}{A}) \\ A \sin α - B \cos α = \sqrt{A^{2} + B^{2}} \sin (α - β) (\tan β = \frac{A}{B}) \end{matrix}

极限

等价无穷小

x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim \ln (1 + x) \sim e^{x} - 1

1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x^{2} {(1 + x)}^{a} - 1 \sim a x

\begin{matrix} 1 - \cos^{α} x \sim \frac{α}{2} x^{2} {(1 + α (x))}^{β (x)} - 1 \sim α (x) β (x) \\ (x \to 0, α (x) \to 0, α (x) β (x) \to 0) \end{matrix}

x - \ln (1 + x) \sim \frac{1}{2} x^{2} a^{x} - 1 \sim x \ln a

x - \sin x \sim \frac{1}{6} x^{3} \arcsin x - x \sim \frac{1}{6} x^{3}

x - \tan x \sim - \frac{1}{3} x^{3} \arctan x - x \sim - \frac{1}{3} x^{3}

\ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) \sim x

\ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) - x \sim - \frac{1}{6} x^{3}

趋向速度比较

$x\rightarrow +\infty$ ：

a^{x} ≫ x^{β} ≫ l n^{α} x α > 0, β > 0, a > 1

$n \rightarrow +\infty$ ：

n^{n} ≫ n! ≫ a^{n} ≫ n^{β} ≫ l n^{α} n α > 0, β > 0, a > 1

$\alpha > 0$ 时：

lim_{x \to 0} x^{α} \ln^{β} x = 0

常用基本极限

\begin{matrix} lim_{n \to \infty} x^{n} = {\begin{matrix} 0, & | x | < 1 \\ \infty, & | x | > 1 \\ 1, & x = 1 \\ 不 存 在, & x = - 1 \end{matrix} lim_{n \to \infty} e^{n x} = {\begin{matrix} 0, & x < 0 \\ + \infty, & x > 0 \\ 1, & x = 0 \end{matrix} \end{matrix}

无穷小量阶比较

$x \to 0$ 时：

$\varphi(x)$ $x$ $n$ 阶无穷小
$f(x)$ $x$ $m$ 阶无穷小

$F(x) = \int_o^{\varphi(x)}{f(t)}\ dt$ $x$ $n(m+1)$ 阶无穷小

$1^\infty$ 的计算方法

$\lim{\alpha(x)} = 0,\ \ lim{\beta(x)} = \infty$ $\lim{\alpha(x)\beta(x)} = A$ ,

$\lim{[1 + \alpha(x)]^{\beta(x)}} = e^A$

变上限积分等价代换

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{g (x)} = 1 ⟹ \int_{0}^{x} f (t) d t \sim \int_{0}^{x} g (t) d t

数列

数列极限加绝对值后的关系

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0 ⟺ lim_{n \to \infty} | a_{n} | = 0

lim_{n \to \infty} a_{n} = a ⟹ lim_{n \to \infty} | a_{n} | = | a |

数列求和公式

等差数列：

\frac{n (a_{1} + a_{n})}{2}

等比数列：

\frac{(a_{1} - a_{n} q)}{1 - q} = \frac{a_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}

其它一些奇奇怪怪的公式

1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{0} b^{n - 1} + a^{1} b^{n - 2} + \dots + a^{n - 2} b^{1} + a^{n - 1} b^{0})

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \dots + a_{m}^{n}} = max_{1 ⩽ i ⩽ m} {a_{i}} (a_{i} > 0)

泰勒公式

皮亚诺余项（局部）

用于局部形态，例如：极限、极值

f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f^{″} (x_{0})}{2!} (x - x_{0})^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n} + o [(x - x_{0})^{n}]

拉格朗日余项（整体）

用于整体形态，例如：不等式、最值

$\xi$ $x_0$ $x$ 之间：

f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f^{″} (x_{0})}{2!} (x - x_{0})^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n} + \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} (x - x_{0})^{n + 1}

函数

奇偶性