函数
奇偶性
常见的奇函数
常见的偶函数
奇(偶)函数的推导规律
奇函数 常数 奇函数 | 偶函数 常数 偶函数 |
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奇函数 奇函数 奇函数 | 偶函数 偶函数 偶函数 |
奇函数 奇函数 偶函数 | 偶函数 偶函数 偶函数 | 奇函数 偶函数 奇函数 |
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为奇函数 为偶函数 | 为偶函数 为奇函数 |
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连续奇函数的原函数 偶函数 | 连续偶函数的原函数之一 奇函数 |
为奇函数 为偶函数 | 为偶函数 为奇函数 |
为奇函数 为偶函数 | 为偶函数 为奇函数 |
周期性
周期函数的原函数
连续,且以 为周期:
是以 周期的周期函数
周期函数的导函数
是周期函数 也是周期函数,且 周期与 的周期相同
有界性
常见的有界函数
判断开区间有界的方法
若
- 在 连续( 和 可以是 和 )
- 和 存在( 若 或 是 或 ,则 还是 , 还是 )
则 在 上有界
注: 在 上有界,且 在 连续 和 存在。
反例:
导数有界推原函数有界
在有限区间有界 有界(导函数有界 原函数有界)
连续性
在点 处连续 在 处的左极限 在 处的右极限 在 处的函数值
在点 处连续
在点 处左连续
在点 处右连续
三角函数
诱导公式
两角和差公式
倍角公式
和差化积与积化和差
和差化积
积化和差
变量相同的 只有一个 或只有一个
极限
等价无穷小
趋向速度比较
:
:
当 时:
常用基本极限
不存在 无穷小量阶比较
当 时:
- 是 的 阶无穷小
- 是 的 阶无穷小
则 是 的 阶无穷小
的计算方法
若 , 且 ,
则
变上限积分等价代换
数列
数列极限加绝对值后的关系
数列求和公式
等差数列:
等比数列:
其它一些奇奇怪怪的公式
泰勒公式
皮亚诺余项(局部)
用于局部形态,例如:极限、极值
拉格朗日余项(整体)
用于整体形态,例如:不等式、最值
在 与 之间:
常用的泰勒公式
导数
导数定义
参数方程加隐函数求导
参数方程求导,其中有隐函数,直接利用参数方程求导公式:
反函数求导
的反函数为 :
注意:二阶无公式,需要链导法推导:
高阶导数
法线斜率
法线斜率为切线斜率的负倒数
微分中值定理
三大中值定理+费马定理
费马定理
设 在 处可导,若 在 处取得极值,则
罗尔定理
设
- 在闭区间 连续
- 在开区间 可导
- 且
那么至少存在一点 ,使
拉格朗日中值定理
设
- 在闭区间 连续
- 在开区间 可导
那么至少存在一点 ,使
拉格朗日中值定理在微分中的一个延伸
柯西中值定理
设 和
- 在闭区间 连续
- 在开区间 可导
那么至少存在一点 ,使
连续函数性质
最值定理
设 在
则 在 上必有最大值和最小值
有界性定理
设 在
则 在 上必有界
介值定理
设 在
则任意介于 和 之间的数 ,至少存在一点 ,使
推论
设 在
则 在 可取到介于最小值 和最大值 之间的任何值 ,并至少存在一点 ,使
零点定理
设 在
则至少存在一点 ,使
辅助函数
证
可令:
证
可令:
证 ,
可令:
证 ,
可令:
的一个小特点
常用不等式
拉格朗日中值定理 渐进线
水平渐近线
竖直渐近线
斜渐近线
其它一些奇奇怪怪的公式
用 直接求斜渐近线,把 或 处理为 时使用:
曲线
弧微分
曲率
直角坐标方程
参数方程
曲率圆与曲率半径
曲率半径 :
不定积分
分部积分的选择
把 以外的凑近微分号:
把 凑近微分号:
连续两次将 (指数) 凑近微分号:
三角函数有理式凑微分规律
- 凑
- 凑
- 凑
与 线性有理式相除
积不出来的函数
判断 原函数是否存在
的一个小特性
定积分
常用公式
为正偶数为大于的奇数 为奇数为偶数 为奇数为偶数 区间再现公式
令 ,则 :
奇偶性和周期性
奇偶性
为奇函数为偶函数 周期性
中值定理
积分中值定理
若 在 上连续:
称 为 在 上的平均值。
积分中值定理的一个神奇操作
牛顿-莱布尼兹公式和拉格朗日中值定理联系起来,得到积分中值定理:
广义积分中值定理
若 , 在 上连续,且 不变号:
注:往往搬出来的 ,满足
几何意义
定义求极限
的 可以是从 (取每个区间的右端点)
的 也可以是从 (取每个区间的左端点)
可积性
必要条件
存在 在 有界 (可积 有界)
充分条件
在 上连续 存在 (连续 可积)(强条件,难满足)
在 上只有有限个第一类间断点 存在 (只有有限个第一类间断点 可积)(弱条件,易满足)
- 在 可积 在 上连续 (可积 变上限积分连续)
变上限积分
变上限积分求导
变上限积分的连续性
- 在 只有有限个第一类间断点 在 可积 (有限个第一类间断点 可积)
- 在 可积 在 上连续 (可积 变上限积分连续)
变上限积分的的可导性
- 若 在 上除 以外都是连续的
则在点 处:
- 连续 可导,且
- 可去 可导,且
- 跳跃 连续但不可导,且 ,
物理应用
平面图形面积
空间体的体积
旋转体的体积
已知横截面面积的体积
点到直线距离
曲线弧长
曲线
:
:
:
旋转体侧面积
物理公式
质心坐标(形心横坐标)
- 一个细棒在 轴的区间 上
- 线密度是
则质心坐标为:
不规则物体质心坐标
形心坐标
各种经典函数曲线
双纽线
玫瑰线
阿基米德螺线
笛卡尔叶形线
不等式
各个基本不等式
若在 上 :
和 分别为 上的最大值和最小值:(估值定理)
柯西积分不等式
和 连续,则:
反常积分
无穷区间反常积分敛散性
常用结论
收敛发散 比较判别法
(大敛小必敛,小散大必散)
设
- 和 在 上连续
则
- 收敛 收敛
- 发散 发散
比较判别法的极限形式
(大敛小必敛,小散大必散)
设
- 和 在 上非负连续
则
- 时, 和 同敛散
- 时, 收敛 收敛
- 时, 发散 发散
无界函数反常积分敛散性
常用结论
收敛发散 比较判别法
(大敛小必敛,小散大必散)
设
- 和 在 上连续
则
- 收敛 收敛
- 发散 发散
比较判别法的极限形式
(大敛小必敛,小散大必散)
设
- 和 在 上非负连续
则
- 时, 和 同敛散
- 时, 收敛 收敛
- 时, 发散 发散
特性
函数形式:
特性:
- ( 为整数)
微分方程
齐次微分方程
一阶线性微分方程
可降阶的高阶方程
(不显含 )
(不显含 )
常系数齐次线性微分方程
- 为两个不相等的实特征根
- 为二重实特征根
- , 为共轭复根
常系数非齐次线性微分方程
若
设 的方法:
- 把 设出来,是 的同次多项式,0次就设 ,1次就设 ,2次就设 。
- 求 ,求得 。
- 抄 ,把 等于几写出来, 是 中的 的值。
- 比对 和 的相同个数,相同的数量即为 ,把 写出来,把 写出来。
- 照抄。
若
设 的方法:
- 把 和 设出来, 是 和 的中的最高次项多项式,0次就设 和 ,1次就设 和 ,2次就设 和 。
- 和 照抄。
- 求 ,求得 。
- 抄 ,把 写出来, 是 中的 的值, 是 或者 中的 。
- 比对 和 的相同个数,相同的数量即为 ,把 写出来,把 写出来。
- 照抄。
多元函数微分学
偏导数定义
全微分定义(四条等价的定义)
可微性判定
必要条件
可微 和 都存在(可微 一阶偏导数存在)
充分条件
和 在 连续 可微(一阶偏导数都存在并且连续 可微)
定义判定
两个条件都满足才可微:
- 和 都存在。(一阶偏导数至少一个不存在 不可微)
隐函数偏导数
极值判定
极值的必要条件
极值的充分条件
以下是决定函数内部是否有最大值和最小值:
若 ,则 为 的极值点
- ,则 为 的极大值点
- ,则 为 的极小值点
若 ,则 不为 的极值点
若 ,则不确定,一般用定义判定
拉格朗日乘数法
约束条件
为可能的极值点
约束条件 ,
为可能的极值点
最大最小值
- 求 在 内部可能的极值点,即
- 求 在 边界上的最大最小值,用拉格朗日乘数法
- 比较所有驻点大小
二重积分
极坐标计算
适合极坐标的被积函数:(以被积函数为主)
适合极坐标的积分域:
奇偶性计算
积分域 关于 轴对称(即关于 对称):
关于为偶函数关于奇函数 积分域 关于 轴对称(即关于 对称):
关于为偶函数关于奇函数 变量对称性
结论
对于一个二重积分,
- 积分域 的 对调(积分域变换成了关于 对称的另一个区域)
- 被积函数 的 对调(被积函数变换成了关于 对称的另一个函数)
则值不变。
推论 1
积分域 关于 对称:
- 也就是积分域的 和 对调后还是原来的区域
- 相当于只对调了被积函数的 和 ,被积函数变换成了关于 对称的另一个函数:
则值不变,即:
推论 2
被积函数 关于 对称:
- 也就是被积函数的 和 对调后,函数还和原来还一模一样
- 相当于只对调了积分域的 和 ,那么就是积分域变换成了关于 对称的另一个区域
则值不变,即:
推论 3
积分域 关于 对称,同时被积函数 也关于 对称:
- 一个大的积分区域 关于 对称,被 分成了两个小区域 和
- 被积函数 的 和 对调后,函数还和原来还一模一样
则大区域 上积分值的一半等于任意一个小区域 或 积分的值,即:
不等式
若在 上 :
若在 上 M ( 为区域 面积 ):
常用结论
一个概率论中的常用结论: